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गोलीय दर्पण की फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में सम्बन्ध | f = R/2 || Focus Length = Radius Of Curvature/2

Jan 30, 2022 04:01PM 2175

कथन– किसी गोलीय दर्पण की फोकस दूरी, उसकी वक्रता त्रिज्या की आधी होती है। यह कथन अवतल और उत्तल दर्पण दोनों के लिए सत्य है। यदि गोलीय दर्पण की फोकस दूरी f तथा वक्रता त्रिज्या R हो, तो
f = R⁄2

Statement– The focal length of a spherical mirror is half of its radius of curvature. This statement is true for both concave and convex mirrors. If the focal length of the spherical mirror is f and the radius of curvature is R, then
f=R⁄2

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उत्तल दर्पण में प्रतिबिम्ब किस प्रकार बनते हैं? | How Are Images Formed In A Convex Mirror?

उपपत्ति– मानलो एक अवतल दर्पण MM' है। इस अवतल दर्पण में,
ध्रुव = P
वक्रता केन्द्र = C
फोकस = F
वक्रता त्रिज्या PC = R
फोकस दूरी (फोकस से दूरी) PF = f

Proof– Let MM' be a concave mirror. In this concave mirror,
Pole = P
Center of curvature = C
Focus = F
Radius of curvature PC = R
Focus distance (distance from focus) PF = f

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अवतल दर्पण में प्रतिबिम्ब किस प्रकार बनते हैं? | How Are Images Formed In Concave Mirror?

मानलो अवतल दर्पण के बिन्दु B पर मुख्य अक्ष के समान्तर एक प्रकाश किरण AB आपतित होती है। परावर्तन के पश्चात् यह किरण फोकस F को काटती हुई मार्ग D पर चली जाती है। इस प्रकार आपतित किरण AB तथा परावर्तित किरण BF प्राप्त होती हैं। बिन्दु B से वक्रता केन्द्र C को मिला दिया जाता है। CB दर्पण के बिन्दु B पर अभिलम्ब है। प्रकाश किरण के परावर्तन से आपतन कोण ABC तथा परावर्तन कोण CBF प्राप्त होते हैं।

As a point B of a concave mirror, a ray of light AB parallel to the principal axis is incident. After reflection, this ray crosses the focus F and goes to the path D. Thus the incident ray AB and the reflected ray BF are obtained. The center of curvature C is merged from the point B. CB is the normal to the mirror at point B. Reflection of a ray of light gives the angle of incidence ABC and the angle of reflection CBF.

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गोलीय दर्पण क्या है? | अवतल और उत्तल दर्पण || What Is Spherical Mirror? | Concave And Convex Mirror

परावर्तन के नियम से,
आपतन कोण = परावर्तन कोण
कोण ABC = कोण CBF ....................1
कोण i = कोण r
चित्र से स्पष्ट है कि
AB तथा PC एक-दूसरे के समान्तर हैं, इसलिए कोण ABC और कोण BCF एकान्तर होगें। एकान्तर कोण सदैव बराबर होते हैं।
अतः कोण ABC = कोण BCF ..............2

By the law of reflection,
Angle of incidence = angle of reflection
Angle ABC = Angle CBF ................1
Angle i = angle r
It is clear from the picture that
AB and PC are parallel to each other, so angle ABC and angle BCF will be alternate. Alternate angles are always equal.
So angle ABC = angle BCF ..............2

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दर्पण किसे कहते हैं? | समतल दर्पण में प्रतिबिम्ब कैसे बनता है? || Information About Plane Mirror

समीकरण 1 और समीकरण 2 से,
कोण CBF = कोण BCF (त्रिभुज BCF में)
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः त्रिभुज BCF में,
CF = BF .........................3
यदि दर्पण का द्वारक बहुत छोटा हो, तो बिन्दु B → ध्रुव P (बिन्दु B, बिन्दु P के बहुत समीप है।) अतः
BF = PF ..........................4

From Equation 1 and Equation 2,
Angle CBF = Angle BCF (in triangle BCF)
We know that in a triangle the sides opposite to equal angles are equal. So in triangle BCF,
CF = BF .........................3
If the aperture of the mirror is very small, then point B → pole P (Point B is very near to point P.) So
BF = PF ............................4

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प्रकाश का परावर्तन एवं इसके नियम | Reflection Of Light And Its Laws

समीकरण 3 और समीकरण 4 से,
CF = PF
दोनों पक्षों में PF जोड़ने पर,
CF + PF = PF + PF
चित्र से स्पष्ट है कि (CF + PF = PC)
PC = PF + PF
PC = 2 PF
चिह्न परिपाटी के अनुसार,
(–PC) = 2 (–PF)
PC = 2 PF
R = 2 f
f = R⁄2
यही सिद्ध करना था।

From Equation 3 and Equation 4,
CF = PF
On adding PF to both the sides,
CF + PF = PF + PF
It is clear from the picture that (CF + PF = PC)
PC = PF + PF
PC = 2 PF
As per mark convention,
(–PC) = 2 (–PF)
PC = 2 PF
R = 2 f
f = R⁄2
This was to prove.

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I hope the above information will be useful and important.
(आशा है, उपरोक्त जानकारी उपयोगी एवं महत्वपूर्ण होगी।)
Thank you.
R F Temre
rfcompetiton.com